教学研讨｜1.5.1曲边梯形的面积

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 ▍来源：网络 

研讨素材一

1.5.1曲边梯形的面积

1教学目标

1.知识与技能

通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的数学思想方法，建立定积分概念的认知基础，为理解定积分概念及几何意义奠定基础。通过这部分学习，逐步培养学生分析问题、解决问题的思维能力。

2.过程与方法

 通过类比“割圆术”，探求曲边梯形面积的步骤方法：

（1）分割，

（2）近似代替，

（3）求和，

（4）取极限。体会研究问题的方法。

3.情感态度与价值观

本节课主要是让学生感受数学思想的美妙和强大，学会思想的应用，知识的迁移，提高学习数学的兴趣和热情。

2新设计

1.通过以前学过的三角形和梯形面积公式的推导，以及六边形和可分割成规则图形求面积的实例引导学生初步想到割补思想的应用；

2.探讨了近似代替时的两个原则：误差小、好计算。

3.让学生设计求曲边图形面积的方案。

4.用课件动态展示分割越细，面积和越接近真实面积。

5.用阿基米德的双侧逼近来对比体会本节课的极限的夹逼性

3学情分析

 由于本次上课学生是中档层次学生，学生基础还可以，但自我发现能力不是很强，所以很多地方是以教师引导为主，本节课主要是让学生感受割补、以直代曲、极限的数学思想，不对学生过多强调计算方面的要求，这也是初步接触微积分的难点，能让学有余力，思维比较活跃的学生掌握计算就可以了。更多的是让学生感受到数学思想的美妙和伟大。

4重点难点

 重点：了解定积分的基本思想方法——“以直代曲”、“逼近”的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤——“四步曲”。

难点：以直代曲”、“逼近”的思想的形成过程。如何由求曲边梯形的近似面积转化为真实面积是本节课的难点。

 5教学过程

活动1【导入】提出问题，引出课题

【学生讲解】

【教师提问】问题1：如何计算下面图形的面积

第一组

第二组

【思考】：第二组图形的面积公式怎么得来的？

【学生讲解】学生思考片刻，能讲解：是补成平行四边形然后面积是平行四边形的一半。从而推出面积公式的。

【教师提问】问题2：下面图形的面积怎么求？

【学生讲解】分割或补成矩形。（预计大概会给出以下各种方案：）

【问题1、问题2设计意图】让学生初步感受割补思想的应用。通过以上两个问题让学生明白规则图形的面积可以用公式和割补法求出。

【教师提问】问题3：下面图形的面积又怎么求呢？

【设计意图】：

1.引出曲边梯形的概念；

2.学生会继续用割补思想做，大概会给出下面的割补方案，但是并不会求面积，从而引入本节课的重点，让学生带着问题去上课。

活动2【讲授】回顾历史，总结方法

【讲授】回顾 “割圆术”，由正三角形、正六边形、正十二边形到正n边形逼近圆的面积，最后再求面积的时候都用了分割的思想，用小三角形面积代替小扇形的面积。再把所有的面积求和近似代替圆的面积。

师生活动：

【教师提问】为什么n要无限大？

【学生回答】因为n越大，误差越小。

【教师提问】为什么要用正n边形近似代替，选任意n边形好吗？

【学生回答】用正n边形近似代替面积好计算。

【板书】通过割圆术总结，求面积的方法步骤——四步曲（1）分割，（2）近似代替，（3）求和，（4）取极限。

【设计意图】：

1．通过“割圆术”使学生初步体会求面积的四步曲

（1）分割，（2）近似代替，

（3）求和，（4）取极限。   

2.找到近似代替的原则

（1）误差小，（2）好计算。

活动3【活动】讨论探究，对比思想

【自主探究】思考：如何求直线x=0，x=1， y=0和曲线  y=x2所围成的平面图形的面积？（学生动手作图讨论）

【设计意图】：学生通过割圆术的对比，自己动手画图找到解决方案，大概会有以下几种。设计目的运用以直代曲，逼近的思想——即求面积的四步曲的应用。

主要目的是检验对“割圆术”思想的理解是否到位。会不会方法的迁移。

【学生讲述】让一部分学生展示讲解自己的方案，并让学生说出求面积的思路。最后学生共同选出可行方案。

方案一：

【师生共同探讨】学生回答，教师板书求解矩形面积和的全过程，学生肯定会遇到一些小问题，比如的公式不会，这里直接给出。还有对的理解有困惑，需要教师解释。然后求得面积和为，称这个面积为不足近似值。

（同时用课件动态展示分得越多面积越精确。）

然后给出n取不同值时的近似面积，学生通过表格观察发现面积从小于的方向趋近于。

【类比应用】

方案二：

【学生阐述】通过方案一的求解过程，学生很容易发现求法相似，因此可以自己求出该方案面积的和为，老师只要适时点拨就可以了。并且我们称这个面积的和为过剩近似值。

【教师展示】当n取不同值时的近似面积，学生通过表格观察发现面积从大于的方向趋近于。

活动4【活动】应用方案，升华思维

【思维升华】：

【教师提问】如果取每个小区间内的任意一点对应的函数值作为小矩形的高度，所求图形面积还是吗？

【学生回答】对每个小矩形，方案一和方案二分别是以区间的左、右端点对应的函数值作为矩形的高来计算面积的，所以比较容易找到如果以每个小区间内的任意一点对应的函数值作为小矩形的高度，那么它的面积介于二者之间。所以最后面积的和也会介于不足近似值和过剩近似值之间，而不足近似值和过剩近似值都趋近于，所以得到这种做法所求面积也会是。

【设计意图】：

1.感受极限的夹逼性；同时也是对数学思想的升华。

2.让学生知道求面积与的取法无关，为后面的定积分概念打下理解的基础。

活动5【活动】对比思想，找出共性

【教师讲解】实际阿基米德也曾用过上面的方法求圆的面积。下面我们看看阿基米德的双侧逼近，通过图形我们看到他用内接和外切多边形无限逼近圆的面积，和我们刚才的问题是一样的思想。正所谓思想有多远，就能走多远。

【教师与学生共同总结】

以上研究问题的方法主要是分割、近似代替、求和、取极限，我们掌握好这个方法对以后研究问题很有帮助；

活动6【活动】应用思想，回归课题

【回归扣题】本节开始提出的问题现在看怎么解决呢？

问题3：下面曲边梯形的面积又怎么求呢？

【学生回答】只要把它放到坐标系里，知道曲线对应的函数y=f(x)以及左右端点的值就可以用刚才学过的办法求出面积。

（学生以为是可以求出了，实际上还会遇到问题，为后面的定积分留下铺垫）

活动7【活动】总结思想，达成共识

【学生小结】本节课主要学到了割补的思想，极限的思想，运用的数学思想主要是以直代曲，逼近的思想。

学到一类研究问题的方法主要是分割、近似代替、求和、取极限。（学生概括不全教师适当补充）

活动8【活动】板书设计

【板书设计】

活动9【作业】课后作业

【课后作业】

1.求直线x=0，x=1， y=0和曲线  y=x²-2x+2所围成的曲边梯形的近似面积？

【设计意图】：

1.温故本节课所学知识；

2.体会函数在一个区间单调递减和单调递增时，用本节课所学知识求面积有何异同。

3.为后面学习定积分概念奠定基础。

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研讨素材二

《曲边梯形的面积》教学设计

临夏中学  辛仲霞

一、【教学内容解析】

本节课选自人教A版选修2-2第一章第五节《定积分概念》的第一课时，是定积分概念的引例和重要铺垫。教材借助于如何求“曲边梯形的面积”这一直观具体的实例来引入定积分的学习，从而为定积分概念构建认知基础，让学生初步感受定积分的定义，了解定积分的实际背景，为理解其概念及几何意义奠定基础。 

当前教学内容的上位知识、下位知识之间的联系：在前面的课程中，学生已经学习了导数的基础知识，并且用导数解决了一些实际问题，特别是学生在学习了导数的概念及导数的几何意义之后，已经能够认识到“当时间改变量趋近于0时，平均速度趋向于一个定值，这个值就是t₀时刻的瞬时速度”以及“用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线” ，这些内容也正是求曲边梯形的面积中的“无限分割、近似代替”思想的具体体现。在本节内容之后的有关变速直线运动的路程、变力所作的功等问题都可以归结为定积分的问题。例如求变速直线运动的路程问题：如果建立了速度与时间的函数关系，就可以在坐标系中做出v-t图象，在图象上截取一个时间段，这样就把求路程的问题转化成了一个求曲边图形的面积问题。通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力，理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。

二、【教学目标设置】

1.通过对曲边梯形面积的探求，了解定积分的实际背景，初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”。

2.经历探求曲边梯形的面积的过程，体会“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法。感受量变到质变的变化过程，理解用极限的思想方法思考与处理问题。 

   3、通过求解曲边梯形面积的计算过程，体会类似求和运算中所蕴含的程序化的处理方式。

三、【学生学情分析】

在前面的课程中，学生已经学习了导数的基础知识，并且用导数解决了一些实际问题，特别是导数概念的建立过程：首先明确瞬时速度的含义，然后将瞬时速度一般化，给出导数定义。这个过程蕴含了无限逼近的思想和用已知探究未知的思考方法。

学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解，因此在教学中，再次引入刘徽的“割圆术”，通过类比圆面积的求法得到解决曲边梯形面积的思想方法，符合学生的认知规律。

四、【教学重点】 

了解定积分的基本思想方法——“以直代曲”、“无限逼近”的思想，初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”——“分割、近似代替、求和、取极限”。

五、【教学难点】 

“以直代曲”、“无限逼近”的数学思想的渗透。

六、【教学策略分析】 

针对本节课的特点，我采用以教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学手段上采用板演和多媒体课件相结合的教学手段。围绕本节课的教学重点，在整个教学过程注重以学生为主体，以问题为主线，以老师为主导，通过环环相扣的问题链，层层深入，不断启发学生的思维活动。

七、【教学过程】

（一）创设情境，引出课题。

问题1：你觉得下面哪些平面图形的面积可以求出来？ 如果可以怎么求？                                                                                         

设计意图：1.引导学生认识到平面图形分为“直边图形”和“曲边图形”。 

2.将不规则的图形“分割”得到熟悉的图形，从而求出它的面积。让学生体会从已知到未知的数学思想。

3.引导学生给出“曲边梯形”的概念。

曲边梯形的定义：  

阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。怎样去求这个曲边梯形的面积？先看一个特殊的曲边梯形的面积问题。

（二）初步探究，合作学习。

例：求直线及曲线所围成的平面图形的面积S。

问题2：回顾圆的面积是怎样求得的？

设计意图：介绍我国古代数学家刘徽的“割圆术”求圆面积的方法，让学生直观地看到正多边形逼近圆的过程。体会最早的 “以直代曲”，“无限逼近”的思想方法。

问题3：由刘徽“割圆术”中以直代曲思想的启示，用正多边形逼近圆去求圆的面积。那能否将求这个曲边梯形面积的问题转化为求直边图形面积的问题呢？

设计意图：启发学生通过类比想到用学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积。

问题4：我们可以用哪些学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积？如何分割？

设计意图：引导学生把未知问题转化为已知问题，体会“以直代曲”的思想，使学生联想到用梯形面积，矩形面积近似代替曲边梯形面积，培养学生发散思维。

问题5：能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”？

设计意图：引导学生思考讨论，得出结论：直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”误差太大，为了减少近似代替的误差，需要先分割，再“以直代曲”。

幻灯片演示部分分割方案：

设计意图：通过幻灯片动态演示，让学生更加直观地感受到不论哪种方案，随着分割逐渐加细，误差都会逐渐减少，面积也都无限逼近要求的曲边梯形的面积。有助于学生更好地体会“以直代曲”、“无限逼近”的思想方法。

在学生探究交流之后，设置一系列问题引导学生探求正确、简洁的思路，即求曲边梯形面积的四个步骤。以左端点对应的函数值为矩形的高为例。

问题7：设想用无限逼近的思想方法求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？

问题8：上述小矩形从左到右它们的高分别为多少？宽为多少？

问题9：这些小矩形的面积之和是多少？

问题10：怎样使Sn更接近于真实值？

设计意图：通过问题启发学生去思考n对结果有什么影响？由于学生没有极限运算的基础，所以最后一步取极限的时候学生会感到比较困难，不理解这种有限到无限，近似到精确，量变到质变的变化过程，因此教学中用几何画板演示了矩形面积逼近曲边梯形面积的过程，增强学生对极限思想的直观感知，突破了教学难点。

第一步：分割

把区间等分成个小区间（思考：为什么要等分区间？分多少段？）：

每个区间的长度为

.

过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作

第二步：近似代替

对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为另一边长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积。

即 

第三步：求和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边梯形面积的近似值。公式： 

]．

从而得到的近似值

第四步：取极限

当分割无限变细，即时，

（三）形成方法，学以致用

类比练习：以区间右端点对应的函数值为矩形的高进行近似代替，求曲边梯形的面积S，看看这个值还是吗？

设计意图：培养学生自觉运用新知与方法的能力。结合两种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想，体现数形结合的数学方法。

（四）归纳小结，深化认知

1.经历了探求特殊的曲边梯形面积的过程，我们该如何计算一般的曲边梯形的面积？

2.解决问题的过程中，用到了哪些数学思想？

（五）布置作业

1.取中点的函数值近似代替，求直线x=0、x=1、y=0及曲线y=x²所围成的图形面积S，看看这个值还是吗？

思考：若取任意的函数值作为近似值，情况又怎样？

2.求由直线x=0,x=2,y=0,y=x²及x轴所围成的曲边梯形的面积。

设计意图：

(1)让学生加深对近似代替的不唯一性的理解。

(2)巩固求曲边梯形面积的基本步骤，进一步体会“以直代曲”、“无限逼近”的数学思想方法。

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